2004年11月05日

パンパさんからの挑戦!?

パンパでガウチョさん、TABASCO PEPPERさん経由の横丁の日記(2004年10月)より出題(なが!!!)

今朝、会社に出てきてブログを見てみると、kyorecobaさんから「算数の問題の回答」なるトラックバックがありました。
なんだなんだ?と見てみると、なんと、またまた難問があるじゃぁありませんか。
こりゃやってみるしかないだろ!ということで、私も回答を作ってみました。

先に問題だけ載せておきますので、我こそは!という方は、是非、続きの回答を見る前に、挑戦してみてください。

ちなみに小学生の問題ということで、小学6年生にも分かるような問題であることを付け加えておきます。

問題. 正方形の一辺の長さを1として、赤い部分の面積を求めよ。(ただし、正三角形の高さは底辺の0.866倍とする。)
パンパの挑戦図元図

さて、わかりますか?

パンパの挑戦図2まずは目的をはっきりさせたいので、こういう風に補助線と色分けをしました。

水色と赤色に分けて、それぞれの面積を求め、合計して面積ABCDを求めたいと思います。

パンパの挑戦図4まず始めに、右図のように描きます。
この図の緑色の線はいずれも円弧の半径なので、全て長さ1となりますから、△AFJ、△BEFは正三角形なのが分かります。

よって、点Fから伸びるそれぞれの線の角度が各30°なのが分かります。

ここで、赤色に塗った部分の面積を求めたいと思います。
扇状ABFはちょうど1Rの円弧全体から30°分だけ、切り抜いた形状です。
従って赤色の部分を求めるには、扇状FABの面積から△FABを面積を引いたものと言えます。

△FABの面積を求めるにはどうしたら良いでしょう。
良く見ると、△FABは△FEAと同じのようです。
そこで、点Aから線EFに向けて線AHを引くことで、△FEAの面積を求められます。

したがって、赤で塗った形状は

扇状FEAの面積−△FEA 
= ( 3.14 ÷ 12 ) − ( 1 × 0.5 ÷ 2 )= 0.01166…… 

となります。

パンパの挑戦図5次に真ん中の四角い部分□ABCDを求めたいと思います。

右図のように線を描きます。

ここで、線EB、線FBはそれぞれ円の中心から円弧への線ですから、半径1と同じです。 このことから、△BEFは正三角形であることが分かります。

□ABCDを求めるには、直線OBの長さを求めれば良いので、△BEFの高さから線OGの長さを引けば、線OBの長さが求まります。

線OB = ( 線EFの長さ × 0.866 ) − 線OGの長さ

     = ( 1 × 0.866 ) − 0.5 = 0.366

従って、□ABCDの面積は

0.366 × 0.366 × 2 = 0.267912

となります。

総合して、異形状ABCDの面積は

( 扇状ABの面積 × 4 ) + □ABCDの面積 
= ( 0.01167 × 4 ) + 0.267912 = 0.314592

答え.0.314592

が求める答えとなります。

小学生の問題ということで、小学生の分かる範囲で解を求めるのに苦労しますが、30歳半ばになり、頭も衰えてきたところに来て、こういう問題は良い頭の体操になります。

また、こういう問題があれば、挑戦してみたいと思います。

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■Reference
横丁の日記(2004年10月)

■TrackBack
算数の問題の解答:パンパでガウチョ[kyorecobaさん]
TABASCO PEPPER: 算数の難問[奈菜さん]

posted by 若旦那 at 18:31 | 東京 ☀ | Comment(6) | TrackBack(1) | サイエンス | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
挑戦なんてトンでもございません(笑)
袋小路に入りそうなあちらの問題の方が難問で、感心しながら答案を拝見したものですから…。
こちらはコツコツとやれば、なんとかなりました。
Posted by kyorecoba at 2004年11月05日 23:16
私にも理解しやすい回答、ありがとうございました。
素人には補助線を引くことが出来ないんです。(笑
説明を読むと簡単に感じるんですけどね。
Posted by 奈菜 at 2004年11月06日 00:32
Σ(゚Д゚; しょ、しょ、小学生デスカ・・・
と驚いたKOuです。

こういうのって、パズル感覚なので面白いですよね。

魂の叫びさんでも解答されていましたよ。別の方法でした。

http://tamac.daa.jp/diary/2004_11_06_123.html
Posted by KOu at 2004年11月08日 10:37
■kyorecobaさんへ
あ、こっちのが楽でした?
私はこっちの方が難しく感じました。
というのも、最初は魂の叫びさん方式で解こうとしましたが、どうしても小学生のレベルの回答になりませんでした。
で、線を引いているうちに、上の回答になったという訳です。
ただ、私はああいう風には補助線を引かなかったので、もしかしたら、魂の叫びさん方式も、√を使わないで、小学生レベルで出来るかもしれないです。

■奈菜さんへ
いやいや、私も素人ですし(^^ゞ
ただ、パズル好きなので、こういうの考えてる時間って無になれて好きですね。
あと、手品のタネを暴くのも好き(^。^)
TV見ててネタをばらしてしまうので、
良く嫁さんに、つまらないと怒られます。

■Kouさんへ
私も小学生と聞いて、うむむぅと唸ってしまいました。
思わず1:2:√3とか使っていたりして……、途中まで証明したところで、「駄目じゃん!」とかいって、メモ用紙何枚捨てたか(^^ゞ

この問題を解くのに、メモ用紙10枚以上消費しました。あはは。
Posted by 若旦那 at 2004年11月08日 15:40
(遅過ぎる登場。。)
なんでしょ〜と思って見に来てたんですけど、
病み上がりには、数字が目が痛い!かった。(英語も)
いまごろ、コメント書かせていただいてます。

ごっごめんなさい!
解く勇気がありません。。。っていうじゃない?

文系ですから〜。残念!!
(ほんと、苦手で、読んでてチンプンカンプンでした 笑)
Posted by びおびお at 2004年11月10日 21:50
■びおびおさんへ
すみませんm(__)m
芋虫やら数字やらで迷惑掛けまくり??

じゃ、次はやさしいクッキングでもかな?
Posted by 若旦那 at 2004年11月11日 09:28
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久しぶりにユークリッド幾何にチャレンジ
Excerpt: kyorecobaさんの パンパでガウチョにて、面白そうな問題が出てたのでチャレンジしてみました。 ・・・えらく時間がかかってしまいました。3時間ぐらい。 試験だったら、時間オーバーで失格ですな。電卓..
Weblog: 魂の叫び
Tracked: 2004-11-06 03:46
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