一番早く降りる坂はどんな坂？

前のエントリーで科学大好き土よう塾の問題を書きました。今回はその問題の発展です。

玉を転がした場合、右の写真のうち、一番早く降りるのはどの坂でしょうか。



分かりますか？ヒント：右側は直線、まん中は放物線、左側はサイクロイド曲線で構成されています。


分かります？？


答えは：一番左側です。

私は最初直線だと思っていました。
だって、一番短距離ですからね。
でも、物理の難しい計算を駆使すると、一番左側の曲線となるそうです。

これは、サイクロイド曲線と呼ばれています。右の絵の様に、円が転がるときに円上の定点の軌跡が描くラインです。

この傾斜を利用すると、一番効率的に早く物体を降下させることができます。

現実では、ジェットコースターなどにに使われているようです。

このサイクロイド曲線にはヨハン・ベルヌーイとニュートンの名誉を賭けた逸話が残されていたりと、なかなか興味深いところです。

Comments

一番左かな？
遠心力の作用で、速度が上がりそうな気がする。
位置エネルギーは、どれも一緒だから、途中の移動経路で作用する力の違いが出るわけですよねぇ

Posted by Kazkun at 2004年07月17日 23:44

答えを見ると、なるほどねぇ。サイクロイド曲線だったのねぇ。
この手の曲線には、いろいろな種類があって、いろんな分野で応用されていますね。
例えば、送電線の懸垂曲線とか。。
ベジエ曲線も、なんかその辺りだったような気がするなぁ。

Posted by Kazkun at 2004年07月17日 23:47

お、一発で当てましたねぇ。
凄いなぁ。

なんでも、仮にこの曲線を使って、東京と大阪間にトンネルを掘った場合、5分で移動可能になるとか。

ちょっとＧが凄すぎて、誰も意識なさそうだけどね。

Posted by 若旦那 at 2004年07月18日 07:10

>東京と大阪間にトンネルを掘った場合、5分で移動
これ、確か、高校生ぐらいの時にブルーバックの本で読んだ記憶があります。
ただ、列車の推進力をどうしたのか、忘れちゃったんですが、トンネルの作用力だけでは、どう考えたって無理だよね。
例えば、東京が標高３０００ｍで、大阪が標高０ｍだったら可能かもしれないですけど。
論点がずれてるかもね。(>_<)

Posted by Kazkun at 2004年07月18日 16:15

いやいや、そうじゃなくて・・・

上のサイクロイド曲線を書くGIFを見てもらいまして。
あの絵をまったく逆にしたトンネルを掘る事になります。

東京から飛び込んでびゅ〜〜〜っと加速して、中央あたりが最高速度、んで、そこからはず〜〜〜っと登り、そんで大阪で速度０になると。
ただし、摩擦が０の場合の机上の計算です。

その後いろんなとこ調べたら、10分だとか・・・
まあ時間はどうでも良いとして、凄いことです。

Posted by 若旦那 at 2004年07月18日 18:35

ああ、なるほど。
勘違いしてました。(^^ゞ
とすると、トンネル内に敷設した軌道上の摩擦をどうにかできるだけの工夫があれば、実現可能なのかなぁ。
人間の輸送が駄目でも、例えば、剛性の高い機械を搬送するのに使えないかしら？

Posted by Kazkun at 2004年07月19日 10:10

実際には、東京-大阪間（約５５２Kｍ）を円周長とする円でできるサイクロイド曲線ですから、最深部では１７５ｋｍとなりますね。

無理じゃない？？

それと、もうひとつ。

今のシールドマシンの技術でこの曲線トンネルは掘れそうにない。

まちがいない！

Posted by 若旦那 at 2004年07月19日 11:28